Baekgaard (puis Christensen), une approche revisitée

Mai 1977, Erik Baekgaard, ingénieur Bang & Olufsen, publie au journal de l'Audio engineering Society l'article "A novel approach to linear phase loudspeakers using passive crossover networks". 30 ans après, mais avant que le filtrage numérique à réponse inpulsionnelle finie (RIF ou FIR) ne balaye toute la science du filtrage analogique (encore pratiquée sur les filtres numériques à réponse impulsionnelle infinie, RII ou IIR), la compréhension et l'exploitation du principe alors exposé se révèlent très didaciques.

L'idée était de réaliser un filtre d'aiguillage à somme de tension constante mais aussi de respecter une réponse en phase linéaire et nulle. Plutôt que de la phase en régime sinusoïdal, parler de la réponse transitoire sur tous signaux (ce qui mathémathiquement est réversible tant que l'on reste sur des équations linéaires) donne une image plus pertinente du but recherché, la reproduction musicale d'une enceinte acoustique (timbres, scène sonore, ...).

Une gamme d'enceinte Beovox Uniphase chez Bang & Olufsen précéda la parution AES (un article de la revue Hifi Stéréo de l'époque, signalé par Francis Brooke).

Erik Baekgaard utilisait en évaluation un signal carré et cherchait pour un filtre à deux voies (low et high) à contrecarrer une somme (output) infidèle au signal d'entrée à l'aiguillage grâce à un haut-parleur "bouche trou". Bien sûr il s'agit là de sommes électriques (Vl + Vh + Vc), il faudra penser plus largement à la somme électroacoustique, comme on s'y essaiera plus loin.

Cas du Butterworth en phase :

Cas du Butterworth hors phase :

Avec le haut-parleur "bouche trou" (Vc) :

Le document original de 11 pages est téléchargeable (.pdf) sur la boutique en ligne de l'AES pour un coût "e"-sécurisé de 20$.

Dès décembre 1977, la Revue Du Son profite de cet écrit pour faire un point sur la réponse transitoire des filtres passifs les plus usuels, ce qui donne deux tableaux d'intérêt : tableau I , tableau II.

L'Audiophile n°6 (1978) aborde ce procédé de filtrage et d'autres, dans l'excellent article Techniques d'élaboration des filtres, sous la plume de Gilles Milot.

A noter que ce principe est déjà présenté par M. Yamanaka en 1967 (Matsushita Corp.). Technics eut une gamme d'enceintes en profitant, avec pour modèle amiral la SB-7000. Un brevet sur ce même sujet (US patent 4,015,089) a été déposé par M. Ishii en 1977. Steve Stokes nous le rappelle dans le magazine AudioXpress de janvier 2007.

Les équations des filtres répartiteurs:

On voit immédiatement que la somme des numérateurs se simplifie avec le dénominateur commun pour se résumer à un résulat unitaire bien réel et sans partie imaginaire. fc est l'unique fréquence de coupure et Q est le facteur d'amortissement. f_x est la variable fréquence.

Les trois filtres sont bien du second ordre, ce qui se traduit par une pente à 12dB/oct. pour les passe-bas et passe-haut et par deux pentes à 6dB/oct. pour le passe-bande. Tout transitoire entré est attendu intégralement en sortie par la somme électrique. Grâce à un résultat de somme unitaire en gain et nul en phase.

Ces images sont tirées de copies d'écrans "Mathcad". La version ancienne utilisée est la 6.0. Les paramètres à prédéfinir pour ces résultats sont (90 points sur 9 octaves même si les graphes se limitent à 2 décades) :

Osons quitter Butterworth et Linkwitz ! :

Un second ordre Butterworth a un Q de 0,707, un second ordre de Linkwitz a un Q de 0,5. Risquons un Q de 0,25 !

Bingo ! Le 2+1 à une fréquence mathématique devient un vrai trois voies avec deux fréquences de coupure graphiques à environ -3dB, de 250Hz et 4kHz. Le haut-parleur bouche trou devient une vraie voie, voire la voie large-bande que l'on voulait épauler en bas et en haut depuis si longtemps.

Idée pour un Baekgaard actif "zen" :

La solution passive telle que relatée par Mr Baekgaard est aujourd'hui immédiatement pensée en actif. L'impédance complexe des haut-parleurs rend imprécis les filtres "LC" entre amplificateur et transducteurs alors que les solutions d'amplificateurs multiples se simplifient 30 ans après (A noter que G.R. Koonce a déjà proposé une solution active sous forme d'un filtre à variable d'état dans le magazine Speaker Builder 2/95).

Deux cellules RC en série conduisent à un filtre du second ordre. Quand le coefficient d'amortissement est faible, il est possible de se passer de buffer inter-cellules :

Une somme unitaire en gain et nulle en phase sur l'ensemble du spectre garantit une réponse électrique transitoire sans déformation, même quand le signal est apériodique. Ici un seul cycle de signal carré au spectre de fréquence suffisamment étendu pour exciter les trois voies :

Filtre "passe-tout" par René Christensen, une voie plus réaliste :

René Christensen a aussi publié au journal de l'Audio engineering Society, mais cette fois en 2006 : "Active All-Pass Crossover Networks with Equal Resistors and Equal Capacitors". Ce papier est librement disponible sur son site personnel.

Même s'il reconnaît la perfection électrique du filtre Constant-Voltage de Baekgaard, il pose le problème du recoupement large (et improbable) nécessaire aux bandes utiles des haut-parleurs ainsi que du diagramme tortueux de rayonnement des haut-parleurs certainement non-coaxiaux et pourtant mutuellement hors phase. Il propose du coup de revenir à un concept plus commun, le All-Pass tout en conservant l'idée d'une unique fréquence mathématique aux fonctions de transfert.

Là aussi, à condition de quitter le coefficient Q de 0,5 (ou a=2 sur le papier de René), on peut obtenir un filtre avec deux fréquences de coupure graphiques différentes pour une configuration à trois voies plus séparatrice :

Le travail en bout(s) de bande passante est moins exigeant pour les haut-parleurs, et ceux-ci sont continuellement synchrones en phase pour une réponse polaire moins tourmentée et une scène sonore mieux maîtrisée.